الأعداد الطبيعية والأعداد الناطقة | تحضير شهادة التعليم المتوسط BEM 2027
📐 سلسلة التحضير لشهادة التعليم المتوسط 2027 – الرياضيات
نبدأ اليوم أولى محطات سلسلة التحضير لشهادة التعليم المتوسط 2027 في مادة الرياضيات، بسلسلة مراجعة مركزة تساعد تلميذ السنة الرابعة متوسط على استرجاع أهم المعارف وفهم الأفكار التي يحتاج إليها في حل التمارين والمواضيع.
وسيكون انطلاقنا مع الأعداد الطبيعية والأعداد الناطقة، وهو باب أساسي تتكرر أفكاره في العديد من التمارين، خاصة القواسم والقاسم المشترك الأكبر واختزال الكسور.
🎯 ماذا سنتعلم في هذا الدرس؟
سنراجع أهم المفاهيم في هذا الباب من خلال أربع محطات رئيسية:
قواسم عدد طبيعي وخصائصها.
القاسم المشترك الأكبر لعددين طبيعيين PGCD.
خوارزميات حساب القاسم المشترك الأكبر.
العددان الأوليان فيما بينهما واختزال كسر إلى كسر غير قابل للاختزال.
والهدف ليس حفظ القواعد فقط، وإنما فهم كيفية توظيفها في حل المسائل.
1️⃣ قواسم عدد طبيعي
نقول إن العدد الطبيعي (a) قاسم للعدد الطبيعي (b) إذا كانت قسمة (b) على (a) تامة، أي دون باقي.
مثال:
24 = 6 × 4
إذن:
6 قاسم للعدد 24، وكذلك 4 قاسم للعدد 24.
ولإيجاد قواسم العدد 24 نبحث عن أزواج الأعداد التي حاصل ضربها يساوي 24:
1 × 24
2 × 12
3 × 8
4 × 6
إذن مجموعة قواسم 24 هي:
1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 6 ، 8 ، 12 ، 24
عند البحث عن قواسم عدد طبيعي، يمكن الاستفادة من أزواج القواسم لتسهيل العمل وتجنب نسيان أحد القواسم.
2️⃣ القاسم المشترك الأكبر PGCD
عندما يكون لدينا عددان طبيعيان، فقد تكون لهما عدة قواسم مشتركة.
مثال:
قواسم 18 هي:
1 ، 2 ، 3 ، 6 ، 9 ، 18
وقواسم 24 هي:
1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 6 ، 8 ، 12 ، 24
القواسم المشتركة هي:
1 ، 2 ، 3 ، 6
وأكبرها هو:
PGCD(18 ; 24) = 6
وهذا هو القاسم المشترك الأكبر للعددين.
3️⃣ كيف نحسب PGCD؟
يمكن حساب القاسم المشترك الأكبر بعدة طرق، ومن أهم الطرق التي ينبغي أن يتقنها تلميذ الرابعة متوسط:
🔹 الطريقة الأولى: البحث عن القواسم
نحدد قواسم العددين، ثم نبحث عن أكبر قاسم مشترك بينهما.
هذه الطريقة مناسبة خصوصًا مع الأعداد الصغيرة.
🔹 الطريقة الثانية: خوارزمية الفروق المتتالية
نطرح العدد الأصغر من العدد الأكبر بشكل متكرر إلى أن نحصل على عددين متساويين، ويكون هذا العدد هو القاسم المشترك الأكبر.
🔹 الطريقة الثالثة: خوارزمية إقليدس
وهي طريقة أكثر سرعة وفعالية، خصوصًا عندما تكون الأعداد كبيرة.
مثال:
لحساب:
PGCD(252 ; 105)
نكتب:
252 = 105 × 2 + 42
ثم:
105 = 42 × 2 + 21
ثم:
42 = 21 × 2 + 0
إذن:
وهذه الطريقة من الأفكار المهمة التي ينبغي التدريب عليها جيدًا.
4️⃣ العددان الأوليان فيما بينهما
نقول إن عددين طبيعيين أوليان فيما بينهما إذا كان القاسم المشترك الأكبر لهما يساوي 1.
أي:
مثال:
8 و15
لأن:
PGCD(8 ; 15) = 1
فإن العددين 8 و15 أوليان فيما بينهما.
5️⃣ اختزال كسر
من التطبيقات المهمة للقاسم المشترك الأكبر اختزال الكسور.
مثال:
لدينا الكسر:
18/24
نحسب:
PGCD(18 ; 24) = 6
ثم نقسم البسط والمقام على 6:
18 ÷ 6 = 3
24 ÷ 6 = 4
إذن:
والكسر 3/4 غير قابل للاختزال.
وهنا تظهر أهمية إتقان PGCD؛ فهو لا يمثل درسًا منفصلًا فقط، وإنما يستخدم في حل مسائل أخرى.
📝 تمرين للتدريب
لدينا العددان:
A = 378
B = 252
المطلوب:
- احسب PGCD(A ; B) باستعمال خوارزمية إقليدس.
- هل العددان A وB أوليان فيما بينهما؟
- اختزل الكسر: 252/378
🎯 حاول الحل بنفسك قبل الاطلاع على التصحيح.
🔎 خلاصة الدرس
في هذه المحطة راجعنا:
القواسم → القاسم المشترك الأكبر → خوارزمية إقليدس → العددان الأوليان فيما بينهما → اختزال الكسور.
وهذه المفاهيم مترابطة؛ لذلك فإن فهمها جيدًا سيساعدك في حل عدد كبير من التمارين.
🚀 ماذا بعد؟
لا تنتهي رحلتنا هنا.
في المحطة التالية سننتقل إلى الحساب على الجذور التربيعية، حيث سنتعرف على الجذر التربيعي لعدد موجب، والأعداد الناطقة وغير الناطقة، ثم العمليات على الجذور التربيعية. وهذا كله يندرج ضمن المقطع الأول من برنامج الرياضيات للسنة الرابعة متوسط.
🌟 نصيحة لتلميذ BEM 2027
لا تحاول حفظ خطوات الحل دون فهمها؛ افهم الفكرة، طبّقها، ثم درّب نفسك على تمارين مختلفة.
فالهدف من هذه السلسلة ليس أن تحفظ درسًا اليوم، وإنما أن تصل إلى امتحان شهادة التعليم المتوسط 2027 وأنت قادر على فهم السؤال واختيار الطريقة المناسبة للحل.
رحلتنا مستمرة… والمحطة القادمة: الحساب على الجذور التربيعية.
ابدأ من الآن، فكل تمرين تحله اليوم يقربك خطوة من النجاح غدًا.
دروس أخرى:
المحور الأول:الأعداد الطبيعية والأعداد الناطقة